PROPIEDADES DE LAS DETERMINANTES

PROPIEDAD 1

El determinante de una matriz cuadra es igual al determinante de una matriz transpuesta.

PROPIEDAD 2

Si los elementos de una línea de la  matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número.

PROPIEDAD 3

Si todas las líneas de una matriz de orden  están multiplicadas por el mismo numero  el determinante de la matriz queda multiplicado por .

PROPIEDAD 4

El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto del determinante de ambas matrices.

PROPIEDAD 5

Si en una matriz cuadrada se permutan dos líneas, su determinante cambia de signo.

PROPIEDAD 6

Si una matriz cuadrada tiene dos líneas iguales o proporcionales cambia de signo.

PROPIEDAD 7

Si los elementos de una línea de una matriz cuadrada son combinación lineal de las líneas restantes, es decir, son el resultado de sumar los elementos de otras líneas multiplicadas por números reales, su determinante es cero.

PROPIEDAD 8

Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de otras líneas, su determinante no varía.

PROPIEDAD 9

Si una matriz tiene una línea de ceros su determinante es cero.

biografia de rowan

William Rowan Hamilton 's father, Archibald Hamilton, did not have time to teach William as he was often away in England pursuing legal businArchibald Hamilton had not had a university education and it is thought that Hamilton's genius came from his mother, Sarah HuttonArchibald Hamilton no había tenido una educación universitaria y se piensa que el genio de Hamilton vino de su madre, Sarah Hutton. By the age of five, William had already learned Latin, Greek, and Hebrew. A la edad de cinco años, William ya había aprendido latín, griego y hebreo. He was taught these subjects by his uncle, the Rev James Hamilton, who William lived with in Trim for many years. Se le enseñó esos temas por su tío, el reverendo James Hamilton, quien vivía con William en Trim durante muchos años. James was a fine teacher. James era un buen profesor.

William soon mastered additional languages but a turning point came in his life at the age of 12 when he met the American Zerah ColburWilliam pronto aprendió idiomas, sino un punto de inflexión se produjo en su vida a la edad de 12 años cuando conoció a la estadounidense Zera Colburn. Colburn could perform amazing mental arithmetical feats and Hamilton joined in competitions of arithmetical ability with him. Colburn podría realizar increíbles proezas aritméticas mentales y Hamilton se ha unido en las competiciones de habilidad aritmética con él. It appears that losing to Colburn sparked Hamilton's interest in mathematics. Parece que la pérdida de Colburn despertó el interés de Hamilton en las matemáticas.

Hamilton's introduction to mathematics came at the age of 13 when he studied Clairaut 's Algebra, a task made somewhat easier as Hamilton was fluent in French by this time. Introducción a las matemáticas de Hamilton llegó a la edad de 13 años cuando estudió Clairaut Álgebra 's, una tarea algo más fácil ya que Hamilton era fluido en francés por el momento. At age 15 he started studying the works of Newton and Laplace . A los 15 años comenzó a estudiar las obras de Newton y Laplace . In 1822 Hamilton found an error in Laplace 's Mécanique céleste and, as a result of this, he came to the attention of John Brinkley, the Royal Astronomer of Ireland, who said:- En 1822 Hamilton encontrado un error en Laplace 's Mécanique Céleste y, como resultado de esto, llegó a la atención de John Brinkley.

This young man, I do not say will be, but is, the first mathematician of his  Hamilton entered Trinity College, Dublin at the age of 18 and in his first year he obtained an 'optime' in Classics, a distinction only awarded once in 20 yearHamilton ingresó en el Trinity College de Dublín a la edad de 18 años y en su primer año obtuvo un "Optime 'en Clásicos, una distinción sólo se concede una vez en 20 años.

In August 1824, Uncle James took Hamilton to Summerhill to meet the Disney family. En agosto de 1824, el tío James Hamilton llevó a Summerhill a conocer a la familia Disney. It was at this point that William first met their daughter Catherine and immediately fell hopelessly in love with her. Fue en este punto que William conoció a su hija Catalina y de inmediato se enamoró perdidamente de ella. Unfortunately, as he had three years left at Trinity College, Hamilton was not in a position to propose marriage. Por desgracia, como lo había hecho tres años que quedan en el Trinity College, Hamilton no estaba en condiciones de proponer matrimonio. However Hamilton was making remarkable progress for an undergraduate and submitted his first paper to the Royal Irish Academy before the end of 1824, which was entitled On Caustics. Sin embargo, Hamilton está haciendo un progreso notable para el estudiante y presentó su primer documento a la Real Academia Irlandesa antes de finales de 1824, que fue titulado El cáusticos.

The following February, Catherine's mother informed William that her daughter was to marry a clergyman, who was fifteen years her senior. El mes de febrero siguiente, la madre de Catalina, informó a William de que su hija iba a casarse con un sacerdote, que era quince años mayor que ella. He was affluent and could offer more to Catherine than Hamilton. Él era rico y podía ofrecer más a Catalina que Hamilton. In his next set of exams William was given a 'bene' instead of the usual 'valde bene' due to the fact that he was so distraught at losing Catherine. En su siguiente serie de exámenes de William se le dio un 'beneficios' en lugar del habitual 'valde beneficios "debido al hecho de que estaba tan angustiada por la pérdida de Catalina. He became ill and at one point he even considered suicide. Se puso enfermo y en un momento dado incluso el suicidio. In this period he turned to poetry, which was a habit that he pursued for the rest of his life in times of anguish. En este período se volvió a la poesía, que era un hábito que él persiguió durante el resto de su vida en tiempos de angustia.

In 1826 Hamilton received an 'optime' in both science and Classics, which was unheard of, while in his final year as an undergraduate he presented a memoir Theory of Systems of Rays to the Royal Irish Academy . En 1826, Hamilton recibió una 'optime' tanto en la ciencia y Clásicos, que era algo inaudito, mientras que en su último año como estudiante universitario que presentó una teoría de los sistemas de memorias de los rayos de la Real Academia Irlandesa . It is in this paper that Hamilton introduced the characteristic function for optics. Es en este documento que Hamilton introdujo la función característica de la óptica.

Hamilton's finals examiner, Boyton, persuaded him to apply for the post of Royal Astronomer at Dunsink observatory even although there had already been six applicants, one of whom was George Biddell Airy . Finales de Hamilton examinador, Boyton, lo convenció para que se aplican para el cargo de astrónomo real en el observatorio de Dunsink incluso aunque ya había habido seis candidatos, uno de ellos era George Biddell Airy . Later in 1827 the board appointed Hamilton Andrews' Professor of Astronomy in Trinity College while he was still an undergraduate aged twenty-one years. Más tarde, en 1827, la Junta nombró al profesor Hamilton Andrews de la Astronomía en el Trinity College cuando aún era un estudiante en edad de veintiún años. The professorship carried the honorary title Royal Astronomer of Ireland and the benefit of residing at Dunsink Observatory. La cátedra lleva el título honorífico de Astrónomo Real de Irlanda y el beneficio de residir en el Dunsink Observatorio. This appointment brought a great deal of controversy as Hamilton did not have much experience in observing. Este nombramiento trajo una gran polémica ya que Hamilton no tenía mucha experiencia en la observación. His predecessor, Professor Brinkley, who had become a bishop, did not think that it had been the correct decision for Hamilton to accept the post and implied that it would have been prudent for him to have waited for a fellowship. Su predecesor, el profesor Brinkley, quien se había convertido en un obispo, no pensaba que había sido la decisión correcta para Hamilton a aceptar el cargo y sugirió que habría sido prudente que haber esperado a una beca. It turned out that Hamilton had made an poor choice as he lost interest in astronomy and spend all time on mathematics. Resultó que Hamilton había hecho una mala elección ya que perdió el interés por la astronomía y la pasan todo el tiempo en las matemáticas. Before beginning his duties in this prestigious position, Hamilton toured England and Scotland (from where the Hamilton family originated).

In 1832 Hamilton published this third supplement to Theory of Systems of Rays which is essentially a treatise on the characteristic function applied to optics. En 1832, Hamilton publicó este tercer suplemento a la Teoría de los Sistemas de Rayos que es esencialmente un tratado sobre la función característica aplicada a la óptica. Near the end of the work he applied the characteristic function to study Fresnel 's wave surface. Cerca del final de la obra que aplica la función característica para estudiar Fresnel superficie "s de las olas. From this he predicted conical refraction and asked the Professor of Physics at Trinity College, Humphrey Lloyd, to try to verify his theoretical prediction experimentally. A partir de este predijo cónica de refracción y le preguntó al profesor de Física en el Trinity College, Humphrey Lloyd, para tratar de comprobar su predicción teórica experimental. This Lloyd did two months later and this theoretical prediction brought great fame to Hamilton. Este Lloyd hizo dos meses más tarde y esta predicción teórica trajo gran fama a Hamilton. However, it also led to controversy with MacCullagh , who had come very close to the theoretical discovery himself but, he was forced to admit, had failed to take the last step. Sin embargo, también dio lugar a la controversia con MacCullagh , que había llegado muy cerca del descubrimiento de sí mismo, sino teórico, se vio obligado a admitir que no había tenido en el último paso.

On 4 November 1833 Hamilton read a paper to the Royal Irish Academy expressing complex numbers as algebraic couples, or ordered pairs of real numbers. El 04 de noviembre 1833 Hamilton leyó un documento a la Real Academia Irlandesa expresar los números complejos como parejas algebraicas, o pares ordenados de números reales. He used algebra in treating dynamics in On a General Method in Dynamics in 1834. Él utilizó el álgebra en el tratamiento de la dinámica de un método general en la dinámica en 1834. In this paper Hamilton gave his first statement of the characteristic function applied to dynamics and wrote a second paper on the topic the following year. En este trabajo Hamilton dio su primera declaración de la función característica aplicada a la dinámica y escribió un segundo artículo sobre el tema el año siguiente. Hankins writes in [ 1 ]:- Hankins escribe:

“These papers are difficult to read. Estos documentos son difíciles de leer. Hamilton presented his arguments with great economy, as usual, and his approach was entirely different from that now commonly presented in textbooks describing the method. Hamilton presentó sus argumentos con gran economía, como de costumbre, y su enfoque era totalmente diferente del que ahora comúnmente se presentan en los libros de texto que describen el método. In the two essays on dynamics Hamilton first applied the characteristic function V to dynamics just as he had in optics, the characteristic function being the action of the system in moving from its initial to its final point in configuration space. En los dos ensayos sobre la dinámica de Hamilton aplica por primera vez la característica función V de la dinámica así como él tenía en la óptica, la función característica de ser la acción del sistema en moverse desde el inicial hasta su punto final en el espacio de configuración. By his law of varying action he made the initial and final coordinates the independent variables of the characteristic function. Por su ley de la variación de la acción que hizo las coordenadas iniciales y finales de las variables independientes de la función característica. For conservative systems, the total energy H was constant along any real path but varied if the initial and final points were varied, and so the characteristic function in dynamics became a function of the 6 n coordinates of initial and final position ( for n particles ) and the Hamiltonian H. Para los sistemas conservadores, el total de energía H fue constante a lo largo de cualquier camino real, pero variaba si los puntos inicial y final fueron variadas, y por lo que la función característica en la dinámica se convirtió en una función de los 6 coordenadas n de posición inicial y final (por n partículas) y la H”. Hamilton

The year 1834 was the one in which Hamilton and Helen had a son, William Edwin. El año 1834 fue aquel en el que Hamilton y Helen tuvo un hijo, William Edwin. Helen then left Dunsink for nine months leaving Hamilton to fight the loneliness by throwing himself into his work even more. Helen luego a la izquierda Dunsink durante nueve meses que salen de Hamilton para luchar contra la soledad arrojándose a su trabajo aún más. In 1835 Hamilton published Algebra as the Science of Pure Time which were inspired by his study of Kant and presented to a meeting of the British Association for the Advancement of Science. En 1835, Hamilton publicó álgebra como la ciencia del tiempo puro, que se inspiraron en su estudio de Kant y se presentó a una reunión de la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia. This second paper on algebraic couples identified them with steps in time and he referred to the couples as 'time steps'. Este segundo documento sobre parejas algebraicas identificado con los pasos en el tiempo y se refirió a las parejas como "pasos de tiempo".

Hamilton was knighted in 1835 and that year his second son, Archibald Henry, was born but the next few years did not bring him much happiness. Hamilton fue nombrado caballero en 1835 y ese mismo año su segundo hijo, Archibald Henry, nació, pero en los próximos años no le trajo mucha felicidad. After the discovery of algebraic couples, he tried to extend the theory to triplets, and this became an obsession that plagued him for many years. Tras el descubrimiento de las parejas algebraicas, trató de extender la teoría a trillizos, y esto se convirtió en una obsesión que lo atormentaba desde hace muchos años. The following autumn he went to Bristol for a meeting of the British Association, and Helen took the children with her to Bayly Farm for ten months. El otoño siguiente se fue a Bristol para una reunión de la Asociación Británica, y Helen llevó a los niños con ella a Bayly Farm durante diez meses. His cousin Arthur died, and not long after Helen returned from her mother's she went away again to England this time leaving the children behind after the birth of a daughter, Helen Eliza Amelia. Su primo Arturo murió, y no mucho después de que Helen regresó de su madre que ella se fue de nuevo a Inglaterra este tiempo dejan a los niños después del nacimiento de una hija, Helen Eliza Amelia. At this point, William became depressed and started to have problems with alcohol so his sister came back to live at Dunsink. En este punto, William se deprimió y comenzó a tener problemas con el alcohol por lo que su hermana regresó a vivir a Dunsink.

Helen returned in 1842 when Hamilton was so preoccupied with the triplets that even his children were aware of it. Helen regresó en 1842 cuando Hamilton estaba tan preocupado con los trillizos que hasta sus hijos eran conscientes de ello. Every morning they would inquire [ 25 ]:-

Well, Papa can you multiply triplets? Bueno, papá puede multiplicar trillizos?

but he had to admit that he could still only add and subtract them. pero él tuvo que admitir que todavía sólo podía sumar y restar ellas.

On 16 October 1843 (a Monday) Hamilton was walking in along the Royal Canal with his wife to preside at a Council meeting of the Royal Irish Academy . El 16 de octubre 1843  Hamilton se paseaba por lo largo del Canal Real, con su esposa a presidir una reunión del Consejo de la Real Academia Irlandesa . Although his wife talked to him now and again Hamilton hardly heard, for the discovery of the quaternions , the first noncommutative algebra to be studied, was taking shape in his mind:- Aunque su esposa habló con él de vez en Hamilton casi no se oye, por el descubrimiento de los cuaterniones , el álgebra no conmutativa primero a estudiar, fue tomando forma en su mente: -

And here there dawned on me the notion that we must admit, in some sense, a fourth dimension of space for the purpose of calculating with triples ... Y aquí me di cuenta de la noción de que debemos admitir, en algún sentido, una cuarta dimensión del espacio con el fin de calcular con los triples ... An electric circuit seemed to close, and a spark flashed forth. Un circuito eléctrico parecía cerrarse, y una chispa brilló.

He could not resist the impulse to carve the formulae for the quaternions Él no pudo resistir el impulso de tallar las fórmulas de los cuaterniones

i ² = j ² = k ² = i j k = -1. i ² = j ² = k ² = i j k = -1.

in the stone of Broome Bridge (or Brougham Bridge as he called it) as he and his wife passed it. en la piedra de Broome Bridge (o puente de Brougham como él la llamaba), mientras él y su esposa pasó.

In 1958 the Royal Irish Academy erected a plaque commemorating this. En 1958, la Real Academia de Irlanda erigió una placa conmemorativa de este.

Hamilton felt this discovery would revolutionise mathematical physics and he spent the rest of his life working on quaternions. Hamilton sentía que este descubrimiento podría revolucionar la física matemática y pasó el resto de su vida trabajando en cuaterniones.

MATRICES

biografia de CARL FRIEDRICH GAUSS

Junto a Arquímedes y Newton, Gauss es sin duda uno de los tres genios de la historia de las Matemáticas. Sus aportaciones en todos los campos matemáticos fueron increíbles, aunque algunos de sus descubrimientos tuvieran que esperar más de un siglo para ser valorados debidamente.
Las aportaciones de Gauss en todos los campos de la Matemática son inestimables: Teoría de números, Astronomía, Magnetismo, Geometría, Análisis... Cualquier gran descubrimiento matemático a lo largo de este siglo encuentra detrás la alargada sombra de Gauss. Sólo en Francia otra figura es capaz de hacerle sombra, Cauchy, dando paso, o mejor obstaculizando, a dos jóvenes genios: Abel y Galois.

CARL FRIEDRICH GAUSS
El príncipe de las matemáticas....cuando el famoso viajero y aficionado a las ciencias barón Alexander von Humboldt preguntó a Laplace quién era el más grande matemático de Alemania, Laplace replicó Plaff. "Y entonces Gauss, ¿qué?", preguntó el asombrado von Humboldt. "Oh, - dijo Laplace-, Gauss es el mayor matemático del mundo."
SU VIDA
Nacido en Brunswic, el 30 de abril de 1777, de familia humilde. Su padre se opuso siempre a que su hijo tuviera una educación adecuada a sus posibilidades. Sin embargo, cuando su padre murió en 1806, Gauss ya había realizado una obra inmortal. En el lado opuesto, su madre Dorothea Benz y el hermano de ésta, Friedrich, fueron fundamentales en la educación y posterior carrera del genio. El apoyo de su madre y tío pudieron con la intención de su padre de mantener a Gauss en la gnorancia. Tan grande fue el cariño que Gauss sintió por su madre que se ocupó de ella los

últimos 20 años de la vida de ésta despreocupándose de su fama y carrera.
Son muchas las anécdotas que muestran la precocidad intelectual del pequeño Gauss. Con tres años se permitió corregir los cálculos que realizaba su padre cuando éste laboraba la nómina de sus empleados.. Con anterioridad ya había aprendido a leer. Destacaba también su capacidad para el cálculo mental
A los siete años ingresó en su primera escuela, dirigida por un tal Büttner, personaje que no destacaba precisamente por sus dotes pedagógicos. De esta época se cuenta que a los 10 años , cuando fue admitido en la clase de aritmética, sorprendió a todos por la rapidez y procedimiento seguido en la resolución de un problema del tipo "Halla la suma de los 100 primeros números enteros". Gauss agrupó los números en 50 parejas de números que sumaban 101 La sorpresa de Büttner fue tal, que de su propio bolsillo, regaló al joven el mejor texto asequible de Matemáticas
La casualidad hizo que el joven ayudante de su maestro, Johann Martín Bartel, fuera también un apasionado de las matemáticas. Ambos pasaron muchas horas juntos estudiando, ayudándose en las dificultades y ampliando demostraciones. En esta época se producen sus primeros trabajos sobre el teorema del binomio.
El propio Batels, por medio de algunos de sus influyentes amigos, consiguió presentar a Gauss al Duque de Brunswic, Carl Wilhelm Ferdinand en 1791. A partir de entonces el duque se encargó de pagar la educación de Gauss.
En Febrero de 1792 Gauss ingresó en el colegio Carolino, donde estudió durante tres años, conociendo la obra de Euler, Lagrange y, sobre todo, los Principia de Newton. Cuando dejó el colegio, en Octubre de 1795, aún no había decidido si se dedicaría a las matemáticas o a la filología.
En 1796, un mes antes de cumplir los 19 años, Gauss consiguió la construcción de un polígono regular de 17 lados con regla y compás , como se exigía en la Geometría desde Grecia. Algunos autores consideran este hecho fundamental para que Gauss se decidiera por las matemáticas y no por la filología.
A los 19 años había descubierto por si solo un importante teorema de la teoría de los números, la ley de la reciprocidad cuadrática. Después de su regreso a Brunswic en 1799, el duque tuvo que ser convencido para seguir con su ayuda económica a Gauss. Como contrapartida debió presentar su tesis doctoral en la Universidad de Helmstedt. En su tesis Gauss dio la primera demostración del teorema fundamental del álgebra..
Quizás la obra más importante publicada por Gauss sean las Disquisitiones Arithmeticae de 1801. A partir de aquí las matemáticas puras dejan de ser el único objetivo para Gauss y comienza a interesarse por la astronomía, dedicándole la mayor parte de su tiempo durante 20 años. y no faltándole los detractores que le ridiculizaron por "malgastar"su tiempo en el cálculo de órbitas de planetas menores.
En 1809 publicó sus segunda obra maestra, Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que giran alrededor del Sol en secciones cónicas.
El 9 de octubre de 1805, un aumento de su pensión permitió que se casara con Johanna Ostoff. De este feliz matrimonio (Gauss lo considera así en una carta dirigida a su amigo Wolfgang Bolyai), nacieron tres hijos, José , Minna y Luis, el primero de los cuales heredó la capacidad de su padre para los cálculos mentales. Sin embargo 4 años después, con el nacimiento de Luis, su esposa murió. Al año se volvió a casar con Minna Waldeck, amiga íntima de su primera mujer, con la que tuvo dos hijos y una hija.
Su benefactor, el duque Fernando, quedó mortalmente herido tras enfrentarse a las tropas napoleónicas al frente de las fuerzas prusianas. Después de regresar a Brunswic y tras ser humillado por el propio Napoleón, el duque debió huir, muriendo en la casa de su padre en Altona, el 10 de Noviembre de 1806. La pérdida de su patrón obligó a Gauss a buscar algún medio de vida. La solución no tardó en llegar y en 1807 fue nombrado director del observatorio de Göttingen con la única obligación, si fuera necesario, de dar cursos de matemáticas a los estudiantes de la universidad. La enseñanza no fue una tarea que agradara a Gauss, solamente con buenos matemáticos se sentía cómodo impartiendo sus lecciones. En esta época debió soportar la presión de los invasores franceses y pagar una contribución involuntaria de 2000 francos a la caja de guerra de Napoleón (su orgullo no le permitió aceptar algunas donaciones para poder pagar esta multa).
A pesar de su capacidad en materias como estadística, seguros y aritmética política, Gauss no ocupó nunca un cargo político. Además de su dedicación a la Ciencia tenía sus hobbies en la lectura de la literatura europea y clásica, en su interés crítico por la política mundial, en su dominio de lenguas extranjeras y de nuevas ciencias como la botánica y la mineralogía.
Desde 1821 hasta 1848 Gauss trabajó en Geodesia. Entre 1830 y 1840 se dedicó a la física matemática, concretamente electromagnetismo, magnetismo terrestre la teoría de la atracción según la ley de Newton. Los últimos años de su vida, entre 1841 y 1855, los dedicó al "análisis situs" y a la geometría asociada a funciones de variable compleja.
Después de 20 años en los que a penas había salido de Göttingen, en junio de 1854 salió para visitar la construcción del ferrocarril entre su ciudad y Cassel. Los caballos se desbocaron y fue despedido fuera del carruaje, aunque no tuvo ningún daño, si sufrió un fuerte "shock". Después de recuperarse llegó a presenciar la inauguración del ferrocarril a Göttingen.
A principios de 1855 comenzaron a aparecer los síntomas de su última enfermedad. Con dificultades, siguió trabajando hasta que murió pacíficamente el 23 de febrero de 1855.
SU OBRA
Las contribuciones de Gauss a las matemáticas van desde la más pura teoría de números hasta los problemas prácticos de astronomía, magnetismo y topografía. Realizó grandes aportaciones en todas las ramas de las matemáticas en las que trabajó. Llegó a publicar alrededor de 155 títulos, sin embargo se caracterizó por no presentar los trabajos que no creyera haber pulido hasta la perfección.

El polígono Dejando de lado las curiosas anécdotas de su infancia, la primera aportación de Gauss a las matemáticas fue la construcción del polígono regular de 17 lados. Los primeros en tratar el tema, la escuela geométrica ligada a Pitágoras, Eudoxo, Euclides y Arquímedes, impusieron para las construcciones geométricas la condición de que sólo podría utilizarse regla y compás. Gauss no sólo logró la construcción del polígono de 17 lados, también encontró la condición que deben cumplir los polígonos que pueden construirse por este método: El número de sus lados ha de ser potencia de dos o bien, potencia de 2 multiplicada por uno o más números primos impares distintos del tipo llamado números primos de Fermat. Gauss demostró este teorema combinando un razonamiento algebraico con otro geométrico. Esta técnica utilizada para la demostración, se ha convertido en una de las más usadas en matemáticas: trasladar un problema desde un dominio inicial ( la geometría en este caso) a otro (álgebra) y resolverlo en este último.
Las Disquisiciones En 1801, cuando contaba con 24 años, Gauss publicó su primera gran obra "Disquisitiones Arithmeticae", obra tan importante para la teoría de los números como la obra de Euclides para la geometría. Además de organizar lo ya existente sobre los números enteros, Gauss aportó ideas propias. Fundamentó su teoría a partir de una aritmética de números congruentes que utilizó en la demostración de importantes teoremas, quizás el mas famoso de todos y el favorito de Gauss sea la ley de reciprocidad cuadrática, que Gauss llamó teorema áureo. En esta obra se muestra claramente una tendencia en todo el trabajo de Gauss, en sus demostraciones se elimina toda traza que pueda hacer ver el proceso que las ha hecho posibles. Esto ha sido un elemento negativo para las generaciones siguientes que han tenido muchos problemas para comprender los métodos empleados por Gauss.

No se puede dejar sin señalar la aportación de Gauss a la teoría de números complejos. Después de que en el Renacimiento se asignaran a estos números propiedades místicas y descripciones caprichosas, Gauss fue más práctico y los represento geométricamente mediante puntos en el plano, además de aceptarlos y emplearlos como objetos matemáticos puros. En 1811 Gauss demostró el hoy llamado teorema de Cauchy (él no llegó nunca a publicarlo). También elaboró un método para descomponer los números primos en producto de números complejos. Gauss y la Geodesia Hacia 1820 Gauss comenzó a trabajar en geodesia (determinación de la forma y tamaño de la tierra), tanto de forma teórica como e forma práctica. En 1821 se le encargo, por parte de los gobiernos de Hannover y Dinamarca, el estudio geodésico de Hannover. A tal fin Gauss ideó el heliotropo, instrumento que refleja la luz del Sol en la dirección especificada, pudiendo alcanzar una distancia de 100 Km y haciendo posible la alineación de los instrumentos topográficos. Trabajando con los datos obtenidos en sus observaciones elaboró una teoría sobre superficies curvas, según la cual, las características de una superficie se pueden conocer midiendo la longitud de las curvas contenidas en ella. A partir de los problemas para determinar una porción de superficie terrestre surgieron problemas más profundos, relativos a todas las superficies alabeadas, terminándose por desarrollar el primer gran periodo de la geometría diferencial.
En el mundo del magnetismo A partir de 1831 comenzó a trabajar con el físico Wilhelm Weber en la investigación teórica y experimental del magnetismo Ambos inventaron un magnetómetro y organizaron en Europa una red de observaciones para medir las variaciones del campo magnético terrestre. Gauss pudo demostrar el origen del campo estaba en el interior de la tierra. Gauss y Weber trabajaron también con las posibilidades del telégrafo, el suyo, fue probablemente el primero que funcionó de manera práctica, adelantándose en 7 años a la patente de Morse.
Después de su muerte se supo que Gauss había encontrado la doble periodicidad de las funciones elípticas.
Gauss se encuentra entre los primeros en dudar de que la geometría euclídea fuese inherente a la naturaleza humana. El axioma de las paralelas, básico en la geometría euclídea, había sido objeto de estudio a lo largo de siglos, intentándose demostrar a partir de los restantes axiomas de Euclides sin resultado alguno. Algunas de sus anotaciones hacen ver que Gauss pensaba que podría existir una geometría en la que no se verificase el axioma de las paralelas. En 1820, Janos Bolyai, llegó a la conclusión de que la demostración del teorema de las paralelas era imposible y comenzó a utilizar una nueva geometría que no utilizara el axioma de Euclides. Tres años más tarde publicó sus resultados, estos fueron acogidos de manera muy fría por el propio Gauss, señalando que él ya había llegado a esas conclusiones muchos años antes. La característica principal de la obra de Gauss, especialmente en matemática pura es haber razonado con lo particular como si fuera general.