EXPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS

 

Introducción

 Número complejo, expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es .

Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas.

Números Complejos

Los Números Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.

Algo parecido les ocurrió a los pitagóricos al intentar medir la diagonal de un cuadrado de lado 1, se dieron cuenta que no había ningún número (sólo conocían los números naturales y fraccionarios) que midiese la diagonal.

Representación Grafica de un Numero Complejo

Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como

puntos de una recta (la recta de los números reales).

Los Números Complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los números complejos). En ese plano podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos del plano.

Ese vector lo podemos descomponer en dos vectores: un vector con principio en el origen de coordenadas y fin el valor de la abscisa del punto (x,y), y otro vector con principio el origen de coordenadas y fin la ordenada del punto (x,y).

Entonces el punto se representaría como una suma de vectores a + b.

Si definimos unos vectores unitarios sobre el Eje X o Real, ya que en el representamos la Parte Real del número complejo y sobre el eje Y o Eje Imaginario, representamos la parte Imaginaria. Entonces podemos representar el número de esta forma xr + yi.

Los vectores r e i tienen módulo 1, además el vector i se define cumpliendo esta condición: i2 = -1.

Cómo r tiene módulo 1 y sus potencias también son 1, no se escribe, quedando por lo tanto el número en la forma x + yi. Esta forma de representar un número complejo se llama Forma Binaria.

Conjugado de un Numero Complejo

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal.

Dado un número complejo (x,y) el complejo conjugado sería (x,-y).

Si al número complejo lo representamos por n; n = (x ,y) el complejo conjugado se representa por n; n = (x ,-y) con una raya encima del número.

Propiedades de los Conjugados

· Primera propiedad

El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

Demostración:

si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z

· Segunda propiedad

Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Demostración:

Tomando : z = a + bi y z' = c + di

Se obtiene:

a + bi y ' = c - di

Con lo que:

(a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i

· Tercera propiedad

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:

Demostración:

Si z = a + bi y z = c + di

Se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i

Cuyo conjugado es (ac - bd) - (ad + bc)i .

Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que

(a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .

· Cuarta propiedad

Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

Demostración:

Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado.

Esto equivale a que:

a + bi = a - bi

Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.

· Quinta propiedad

La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales.

Demostración: (a + bi ) + (a - bi ) = 2a

(a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2

Operaciones con Números Complejos

Suma de Números Complejos

Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i

Propiedades de la Suma de Números Complejos

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

· Conmutativa

Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:

(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )

Ejemplo:

(2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i

(-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i

· Asociativa

Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:

[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]

Ejemplo:

[(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i

(5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i

· Elemento neutro

El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que

(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi

El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».

· Elemento simétrico

El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (- a - bi ):

(a + bi ) + (-a - bi) = 0 + 0i = 0

Ejemplo:

El simétrico de 2 - 3i es -2 + 3i pues (2 - 3i ) + (-2 + 3i ) = 0

Producto de Números Complejos

La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores.

Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su producto como:

(a + bi ) (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc)i

El producto puede hacerse operando con i como si fuese un número real y teniendo en cuenta que i 2 = -1.

(a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + i(ad + bc) + bd(-1) = ac - bd + i (ad + bc)

Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente al complejo producto.

Propiedades del Producto de Complejos

· Conmutativa

Dados dos complejos a + bi y c + di , se cumple que:

(a + bi ) (c + di ) = (c + di ) (a + bi )

· Asociativa

Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:

[(a + bi ) (c + di )](e + fi ) = (a + bi ) [(c + di ) (e + fi )]

· Elemento neutro

El elemento neutro del producto es 1 + 0 ·i = 1, puesto que para cualquier complejo a + bi , (a + bi ) (1 + 0 · i ) = (a + bi ) · 1 = a + bi . El elemento neutro es el uno.

· Distributiva del producto con respecto a la suma

Dados tres números complejos a + bi , c + di y e + fi , se cumple:

(a + bi ) [(c + di ) + (e + fi )] = (a + bi ) (c + di ) + (a + bi ) (e + fi )

Ejemplo:

(1 - 2i ) [3i + (2 - 7i )] = (1 - 2i ) (2 - 4i ) = 2 - 4i - 4i + 8i 2 = -6 - 8i

(1 - 2i ) 3i + (1 - 2i ) (2 - 7i ) = (3i - 6i 2) + (2 - 7i - 4i + 14i 2) = (3i + 6) + (-12 - 11i )

= - 6 - 8i

El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.

El conjunto de los números complejos se simboliza por C, o también (C, +, ·).

· Elemento simétrico respecto del producto

Dado un complejo cualquiera a + bi , distinto de 0 + 0i , existe otro complejo que, multiplicado por él, da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0i .

Demostración:

Se intentará calcular el inverso de a + bi , x + yi .

Ha de verificarse que (a + bi ) (x + yi ) = 1 + 0i

(a + bi ) (x + yi ) = (ax - by) + (ay + bx)I

Por tanto ha de ser:

ax - by = 1, multiplicando por a se tiene: a2x - aby = a

bx + ay = 0, multiplicando por b se tiene: b2x + aby = 0

El conjunto de los números complejos es un cuerpo conmutativo con la suma y el producto definidos.

División de Números Complejos

Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de éste, así el divisor pasará a ser un número real.

Como en la multiplicación, podemos representar los complejos por vectores, para poder comprobar los resultados

Números Complejos en Forma Polar o Trigonometrica

Se puede representar un número complejo cualquiera z = a +bi en forma polar, dando su módulo y su argumento. Esta forma tambien se llama forma trigonométrica.

MÓDULO de un número complejo z es la longitud del vector que lo representa.

|z| = r

ARGUMENTO de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real.

arg(z) = a

Por lo cual z = r (cos ð + isen ð )

Numeros Complejos en Forma Forma Binómica

Forma binómica z = a + bi

Operaciones con Numeros Complejos en Forma Polar

Multiplicación

Se multiplican los módulos

Se suman los argumentos

División

Se dividen los módulos

Se restan los argumentos

Potencia

La potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la de multiplicar.

El módulo se eleva a n

El argumento se multiplica por n

Fórmula de Moivre

Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre:

(cos a + i sen a)n = cos na + i sen na

que es útil en trigonometría, pues permite hallar cos na y sen na en función de sen a y cos a.

Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de Moivre, en honor del matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).

Radicación de Números Complejos

La operación de radicación es inversa a la de potenciación

Para un único número complejo zn , existen varios complejos z, que al elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo zn.

Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.

Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que:

Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a'

Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se le suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2, 3, ..., n-1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces.

Raíz Cuadrada

Vamos a hallar :

Primero pasamos z=4+3i a forma polar:

z = 4+3i = 536.9º

La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2.

Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son:

Si k=0 --> z1=18.4º

Si k=1 --> z2=198.4º

Si le seguimos dando valores a k = 2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia.

Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver como quedan los vectores, tanto de z como de z1 y z2

Raíz Cúbica

Primero pasamos z = 2+4i a forma polar: z = 2+4i = 4.563.4º

La raíz cúbica de z, tendrá de módulo la raíz cúbica del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 3.

Las tres soluciones de esta raíz cúbica son:

Si k=0 --> z1=1.621.1º

Si k=1 --> z2=1.6141.1º

Si k=2 --> z3=1.6261.1º

Si le seguimos dando valores a k = 3, 4, 5,... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia.

Forma Exponencial o de Euler.

Hay una última forma de expresar un número complejo, es la Forma Exponencial.

Un número complejo en forma polar se expresa como z = r(cosa + i sena). Si sustituimos el contenido del paréntesis por la igualdad de Euler:

eia = cosa + isena

Nos queda

z = r·eia.

OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS.

Suma y resta de números complejos.

1.- ( 3+5i ) - ( 5-3i ) = -2+8i

2.- ( 9+7i ) - ( -9+7i )+( -18+i ) = ( 9+9-18 )+( 7-7+1 )i = i

Multiplicación de números complejos.

2 2

1.- ( 3+5i ) ( 5+3i ) ( 2-i ) = 15+9i+6-3i+25i+15i +10i-5t = 34+64i

2 2

2.- ( 3-2i ) ( 2+i ) ( 1-i ) = ( 6+3i-4i-2i ) ( 1-i ) = ( 8-i ) = 8-8i-i+i = 7-9i

División de números complejos.

2

1.- 3 - i - ( 3 - i ) ( 3 - 2i ) - 9 - 6i - 3i + 2i - 7 - 9i - 7 - 9i - 7 - 9i

3 +2i -( 3 + 2i ) ( 3 - 2i )- 9 + 4 - 9 + 4 - 13 - 13 13

2 2

2.- ( 3 + 4i ) ( 1 - 2i ) -3 - 6i + 4i - 8i - ( 11 - 2i ) ( 1 - i )- 11 - 11i - 2i + 2i -

1 + i - 1 + i - ( 1 + i ) ( 1 + i ) - 1 + i -

- 9 - 13i - 9 - 13i

- 2 - 2 2

Igualdad de los números complejos.

1.- 3ix + 2x= 2iy + y +1 3 ( 2 )=2y

3x =2y --- 3 ( x )= 2 ( 2x-1 ) 6= 2y

2x = y+1 3x= 4x-2 y = 6/2

-4x + 3x = -2 y = 3

y =2x-1 -x = -2

x = 2

2.- ( x + iy ) ( 1+2i )= -1+8i

2

( x+iy )= ( -1 +8i ) ( 1-2i )- -1 +2i+8i-16i - 15 + 10i - 3 + 2i

( 1 +2i ) ( 1- 2i ) - 1 + 4 - 5 -

x =3 y =2



Producto de dos números complejos en forma polar

1.- ( 1+ i ) (1 - 3i )= ( 2 cis de 45º ) ( 2 cis 150º )= 2 2 cis 195º

2.- ( - 3 + i ) ( - 1- i ) ( -1- 3i )=

= ( 2 cis 150º ) ( 2 cis 225º ) ( 2 cis 300º )=

= ( 4 cis de 450º ) ( 2 cis 225º )=

= 4 2 cis ( 675º - 360º )= 4 cis de 315º

Bibliografía

·         Enciclopedia Encarta 2000

http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/Bach_CNST_1/complejos_indice.htm

http://lafacu.com/apuntes/matematica/vect_comp/num_comp.htm

http://teleline.terra.es/personal/jftjft/Biografias/Hamilton.htm

http://teleline.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/Numcomp.htm